\subsection{圆柱、圆锥、圆台}\label{subsec:2-4}

\begin{enhancedline}

\subsubsection{圆柱、圆锥、圆台的概念和性质}

圆钢呈圆柱形，铅锤呈圆锥形，粮囤呈圆台形（图 \ref{fig:ltjh-2-30}），这样形状的物体是很多的。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=8cm]{../pic/ltjh-ch2-30.png}
    \caption{}\label{fig:ltjh-2-30}
\end{figure}

分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，
其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做\zhongdian{圆柱}、\zhongdian{圆锥}、\zhongdian{圆台}（图 \ref{fig:ltjh-2-31}）。
旋转轴叫做它们的\zhongdian{轴}，在轴上这条边的长度叫做它们的\zhongdian{高}，
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它们的\zhongdian{底面}，
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的\zhongdian{侧面}，
无论旋转到什么位置，这条边都叫做\zhongdian{侧面的母线}。
如图 \ref{fig:ltjh-2-31} 中，直线 $O'O$、$SO$ 是轴，线段 $O'O$、$SO$ 是高，$A'A$、$B'B$、$SA$、$SB$ 等是母线。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=8cm]{../pic/ltjh-ch2-31.png}
    \caption{}\label{fig:ltjh-2-31}
\end{figure}


很明显，圆台也可以看做是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的。

圆柱、圆锥、圆台用表示它的轴的字母来表示，如圆柱 $O'O$、圆锥 $SO$、圆台 $O'O$。

圆柱、圆锥、圆台有下面的性质：

\zhongdian{（1）平行于底面的截面都是圆；}

\zhongdian{（2）过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。}


\liti 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 $1:4$，母线长是 10 cm，求圆锥的母线长。

\begin{wrapfigure}[8]{r}{4.5cm}
    \centering
    \includegraphics[width=3.5cm]{../pic/ltjh-ch2-32.png}
    \caption{}\label{fig:ltjh-2-32}
\end{wrapfigure}

\jie 设圆锥的母线长为 $y$，圆台上、下底面半径分别是 $x$、$4x$（图 \ref{fig:ltjh-2-32}），根据相似三角形的比例关系，得 \\
\hspace*{10em} $(y-10):y = x:4x$。\\
也就是\\
\hspace*{10em} $4(y-10) = y$，\\
\hspace*{10em} $3y = 40$，

$\therefore$ \quad $y = \dfrac{40}{3}$ (cm)。

因此，圆锥的母线长为 $\dfrac{40}{3}$ cm。


\begin{lianxi}

\xiaoti{用一张 $4 \times 8 \; (\pflm)$ 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面。求轴截面的面积（接头忽略不计）。}

\xiaoti{求证：平行于圆锥底面的截面与底面的面积的比，等于顶点到截面的距离与圆锥的高的平方比。}

\xiaoti{圆台侧面的母线长为 $2a$，母线与轴的夹角为 $30^\circ$，一个底面半径是另一个底面半径的 2 倍。求两底面的半径。}

\end{lianxi}


\subsubsection{圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法}

圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，圆的直观图，一般不用斜二测画法，而用正等测画法。它的规则是:

\zhongdian{（1）在已知图形 $\yuan\,O$ 中取互相垂直的轴 $Ox$、$Oy$。 画直观图时，
    把它们画成对应的轴 $O'x'$、$O'y'$，使 $\angle x'O'y' = 120^\circ$（或 $60^\circ$）。
}它们确定的平面表示水平平面。

\zhongdian{（2）已知图形上平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段，在直观图中，分别画成平行于 $x'$ 轴或 $y'$ 轴的线段。}

\zhongdian{（3）平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段，长度都不变。}

下面举例说明这种画法。

\liti 画水平放置的圆的直观图。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=8cm]{../pic/ltjh-ch2-33.png}
    \caption{}\label{fig:ltjh-2-33}
\end{figure}

\huafa （1）如图 \ref{fig:ltjh-2-33}，在 $\yuan\,O$ 上取一对互相垂直的直径 $AB$、$CD$，
分别以它们所在的直线作为 $x$ 轴、$y$ 轴。 画对应的 $x'$ 轴、$y'$ 轴，使 $\angle x'O'y' = 120^\circ$。

（2）将 $\yuan\,O$ 的直径 $AB$ 分成 $n$ 等分，过分点画平行于 $y$ 轴的弦 $CD$、$EF$、 …。
在 $x'$ 轴上以 $O'$ 为中点画线段 $A'B'$，使 $A'B' = AB$，
将 $A'B'$ 分成 $n$ 等分，以分点为中点画 $y'$ 轴的平行线段 $C'D'$、$E'F'$、…，
使 $C'D' = CD$， $E'F' = EF$， …。

（3）用平滑曲线顺次连结 $A'$，$D'$，$F'$，$B'$，$E'$，$C'$，…，$A'$，就得到圆的直观图，它是一个椭圆。

我们看到，在这种画法中，圆的中心 $O$，变为椭圆的中心 $O'$，
圆的任意一对互相垂直的直径（如 $AB$、$CD$）变为椭圆的一对直径（如 $A'B'$、$C'D'$），
它们叫做椭圆的\zhongdian{共轭直径}。
圆的切线（如 $a$）变为椭圆的切线（如 $a'$）。

由于椭圆的这种画法比较麻烦，所以实际上通常不用这种画法，而是经过椭圆的一对共轭直径的端点（或再加一点，
如 $E'$）用椭圆模板（图 \ref{fig:ltjh-2-34}）来画，或用初中学过的方法画近似椭圆（图 \ref{fig:ltjh-2-35}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/ltjh-ch2-34.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-2-34}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/ltjh-ch2-35.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-2-35}
    \end{minipage}
\end{figure}

画圆柱、圆锥、圆台的直观图时，先用上述方法画出底面，其余部分与棱柱、棱锥、棱台直观图的画法类似。下面举例说明它们的画法。


\liti 一个圆锥的底面半径是 1.6 cm，在它的内部有一个底面半径为 0.7 cm，高为 1.5 cm 的内接圆柱\footnotemark。
画出它们的直观图。
\footnotetext{圆柱的下底在圆锥的底面上，上底的圆周在圆锥的侧面上。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=9cm]{../pic/ltjh-ch2-36.png}
    \caption{}\label{fig:ltjh-2-36}
\end{figure}

\huafa （1）画轴 \quad 取 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，使它们两两相交成 $120^\circ$ 角（图 \ref{fig:ltjh-2-36} 甲）。

（2）画底面 \quad 以 $O$ 为中心，按 $x$ 轴、$y$ 轴画半径等于 1.6 cm 的圆的直观图。

（3）画内接圆柱 \quad 以 $O$ 为中心，按 $x$ 轴、$y$ 轴画一个半径等于 0.7 cm 的圆的直观图，然后在 $z$ 轴上，
取线段 $OO' = 1.5$ cm，过点 $O'$ 作 $O'M \pingxing x \;\text{轴}$， $O'N \pingxing y \;\text{轴}$，
再以 $O'$ 为中心，按 $O'M$、$O'N$ 画一个半径相同的圆的直观图。画圆柱的两条母线，使它们与这两个椭圆相切。

（4）成图 \quad 画圆锥的两条 母线与椭圆 $ACB$ 和 $A'C'B'$ 相切，再加以整理，就得到所要画的直观图（图 \ref{fig:ltjh-2-36} 乙）。


\begin{lianxi}

    画一个上底半径为 1.5 cm，下底半径为 2.5 cm，高为 4 cm 的圆台的直观图（比例尺取 $\exdfrac{1}{2}$，不写画法）。

\end{lianxi}



\subsubsection{圆柱、圆锥、圆台的侧面积}

把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=8cm]{../pic/ltjh-ch2-37.png}
    \caption{}\label{fig:ltjh-2-37}
\end{figure}

图 \ref{fig:ltjh-2-37} 是圆柱的侧面展开图，它是一个矩形，这个矩形的长等于圆柱底面周长 $c$，
宽等于圆柱侧面的母线长 $l$ （也是高）。 由此可得：

\begin{dingli}[定理][dl:yzhu-cmj]
    如果圆柱底面半径是 $\bm{r}$，周长是 $\bm{c}$，侧面母线长是 $\bm{l}$，那么它的侧面积是
    \begin{center}
        \framebox[13em]{$\bm{S_\text{圆柱侧} = c\,l = 2\pi rl}$。}
     \end{center}
\end{dingli}

图 \ref{fig:ltjh-2-38} 是圆锥的侧面展开图，它是一个扇形。这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 $c$，
半径等于圆锥侧面的母线长 $l$，由此可得：

\begin{dingli}[定理][dl:yzhui-cmj]
    如果圆锥底面半径是 $\bm{r}$，周长是 $\bm{c}$，侧面母线长是 $\bm{l}$，那么它的侧面积是
    \begin{center}
        \framebox[13em]{$\bm{S_\text{圆锥侧} = \exdfrac{1}{2}c\,l = \pi rl}$。}
     \end{center}
\end{dingli}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/ltjh-ch2-38.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-2-38}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/ltjh-ch2-39.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-2-39}
    \end{minipage}
\end{figure}

图 \ref{fig:ltjh-2-39} 是圆台的侧面展开图，通常把这样的图形叫做扇环。 由扇环可以求出圆台的侧面积。

设圆台侧面的母线长为 $l$，上、下底面周长分别是 $c'$、$c$，半径分别是 $r'$、$r$，于是
\begin{gather}
    S_\text{圆台侧} = \exdfrac{1}{2}c \, (l + x) - \exdfrac{1}{2}c'x = \exdfrac{1}{2}[c\,l + (c - c')x] \juhao \tag{1}
\end{gather}

$\because$ \quad $\dfrac{c'}{c} = \dfrac{x}{x + l}$，

$\therefore$ \quad $x = \dfrac{c'l}{c - c'}$。\\
代入 (1)，得

$\begin{aligned}
    S_\text{圆台侧} &= \exdfrac{1}{2}\left[ c\,l + (c - c') \dfrac{c'l}{c - c'} \right] \\
        &= \exdfrac{1}{2}(c + c')\,l \\
        &= \pi (r + r')\,l \juhao
\end{aligned}$



由此我们得到下面的定理：

\begin{dingli}[定理][dl:yt-cmj]
    如果圆台的上、下底面半径是 $\bm{r'}$、$\bm{r}$，周长是 $\bm{c'}$、$\bm{c}$，侧面母线长是 $\bm{l}$，那么它的侧面积是
    \begin{center}
        \framebox[18em]{$\bm{S_\text{圆台侧} = \exdfrac{1}{2} (c + c') \,l = \pi (r + r') \,l}$。}
     \end{center}
\end{dingli}

圆柱、圆锥、圆台的全面积，分别等于它们的侧面积与底面积的和。


\liti 已知一个圆锥的底面半径为 $R$，高为 $H$。在其中有一个高为 $x$ 的内接圆柱。

（1）求圆柱的侧面积；（2） $x$ 为何值时，圆柱的侧面积最大？

\jie （1）画圆锥及内接圆柱的轴截面（图 \ref{fig:ltjh-2-40}）。 设所求的圆柱的底面半径为 $r$，它的侧面积
$$ S_\text{圆柱侧} = 2\pi rx \juhao $$

$\because$ \quad $\exdfrac{r}{R} = \dfrac{H - x}{H}$，（为什么？）

$\therefore$ \quad $r = R - \exdfrac{R}{H} \cdot x$。

$\therefore$ \quad $S_\text{圆柱侧} = 2\pi Rx - \dfrac{2\pi R}{H} \cdot x^2$。


（2）因为 $S_\text{圆柱侧}$ 的表示式中 $x^2$ 的系数小于零，所以这个二次函数有最大值。
这时圆柱的高是
$$ x = -\dfrac{2\pi R}{-2 \cdot \dfrac{2\pi R}{H}} = \exdfrac{H}{2} \juhao $$

当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/ltjh-ch2-40.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-2-40}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/ltjh-ch2-41.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-2-41}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 圆锥的底面半径为 $r$，侧面母线长为 $l$，侧面展开图扇形的圆心角为 $\theta^\circ$。
求证： $\theta = \exdfrac{r}{l} \cdot 360$ (度)。

\zhengming 图 \ref{fig:ltjh-2-41} 是圆锥侧面展开图。因为扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即 \\
\hspace*{10em} $\dfrac{\pi\, l\, \theta}{180} = 2\pi r$。 \\
所以 \hspace{8em} $\theta = \exdfrac{r}{l} \cdot 360$ (度)。

在圆台的侧面积公式中，
如果设 $c' = c$，就得到圆柱侧面积公式： $S_\text{圆柱侧} = c \, l$。
如果设 $c' = 0$，就得到圆锥侧面积公式： $S_\text{圆锥侧} = \exdfrac{1}{2} c \, l$。
这样，圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系可表示如下图。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=7cm]{../pic/ltjh-ch2-subsec4-gsgx.png}
\end{figure}

\begin{lianxi}

\xiaoti{将半径为 $r$ 的薄铁圆板沿三条半径截成全等的三个扇形，做成三个圆锥筒。求圆锥筒的高（不计接头）。}

\xiaoti{一个直角梯形的上、下底和高的比为 $1:2:\sqrt{3}$。 求它旋转而成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比。}

\xiaoti{把圆柱、圆锥、圆台的侧面积用中截面周长及母线长表示出来。}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}

